Different Types of Weighted Composition Operators on Banach Spaces of Analytic Functions

Abstract

Many problems in real life are, at least approximatively, of linear nature and can be mathematically examined with the aid of linear spaces. It is natural to measure the size of objects occurring in the problems and such an operation is called a norm. If the space and the norm fit well together, they constitute a Banach space. A norm associates every vector with a nonnegative number or infinity, and the Banach space consists of those vectors whose associated number is finite. Different norms give rise to different Banach spaces. In this dissertation, which contains three articles, different types of weighted composition operators on Banach spaces, consisting of analytic functions defined on the unit disc of the complex plane, are examined. Since the vectors are functions, there are two basic linear operations to consider. One way to modify the vector is by multiplying it with another function. Such an operator is said to be a multiplication operator if it is well defined. Another way to modify the vector is to first transform the input via a function and make the original vector act on the modified input. Such a transformation is done by a composition operator, since the resultant vector is a composition of the original vector and the function transforming the input. A combination of a multiplication operator and a composition operator is said to be a weighted composition operator. In one of the articles, a certain class of integral operators on weighted Bergman spaces are examined. The exact value of the essential norm of such operators, which can be represented as a mean of weighted composition operators, is calculated. Another article deals with the connection between some operator-theoretic properties of a weighted composition operator on the Banach space BMOA and the behaviour of corresponding functions. Compactness, weak compactness and complete continuity are examined. In the so far not mentioned article, the spectrum and essential spectrum are determined for multiplication operators on some Banach spaces.

Många naturligt förekommande problem i verkligheten kan lämpligen beskrivas matematiskt med hjälp av vektorrum. Det är vanligt att man vill kunna mäta storleken av en vektor; att förse ett vektorrum med en sådan operation (norm), ger oss ett så kallat Banachrum, givet att normen och rummet samarbetar väl. En given norm ger alla vektorer ett värde, större än eller lika med noll, eller oändligt. De med ändlig norm utgör det så kallade Banachrummet. Olika normer ger upphov till olika Banachrum. I denna avhandling, som väsentligen består av tre artiklar, undersöks olika varianter av så kallade viktade kompositionsoperatorer på olika Banachrum bestående av funktioner, analytiska på den öppna enhetsdisken i det komplexa talplanet. Eftersom vektorerna är funktioner, existerar det två enkla typer av linjära operationer. Den enklaste är att förändra värdet av funktionen genom att multiplicerar den med en annan funktion. En sådan transformation kan utföras av en linjär operator, en så kallad multiplikationsoperator. Förutom värdet, kan indatat till funktionen förändras. Denna typ av transformation görs av en så kallad kompositionsoperator. Kombineras dessa två linjära operationer fås en viktad kompositionsoperator. I en av artiklarna betraktas bland annat viktade Bergmanrum och den väsentliga normen av en klass integraloperatorer bestäms. Dessa operatorer kan uttryckas som ett kontinuerligt medeltal av viktade kompositionsoperatorer. Det är även intressant att veta hurudana funktioner som, vid bildandet av en viktad kompositionsoperator, ger upphov till vissa operatorteoretiska egenskaper hos operatorn. I en annan av de inkluderade artiklarna karakteriseras de funktioner som genererar en kompakt (compact), svagt kompakt (weakly compact) respektive fullständigt kontinuerlig (completely continuous) operator på Banachrummet BMOA. Vissa egenskaper av en linjär operator kan erhållas från dess så kallade spektrum, vilket berättar när en skalär förskjutning av operatorn är inverterbar. Det sista resultatet som behandlas i avhandlingen är spektrumet och väsentliga spektrumet av en multiplikationsoperator på vissa Banachrum.