Tre konstruktioner av den brownska rörelsen
Åkerlund, Tobias (2024)
Åkerlund, Tobias
2024
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2024040915854
https://urn.fi/URN:NBN:fi-fe2024040915854
Tiivistelmä
I denna avhandling presenteras den brownska rörelsen samt tre olika konstruktioner av den. Brownsk rörelse är den slumpmässiga värmerörelse som kan observeras hos små partiklar i en vätska eller gas. Matematiskt beskrivs brownsk rörelse av den så kallade Wiener-processen; detta är en tidskontinuerlig slumpprocess med oberoende tillägg som följer en normalfördelning.
I denna avhandling fokuserar vi på att konstruera brownsk rörelse och därmed påvisa dess existens, och även dess entydighet. Brownsk rörelse är unik sånär som på konstruktionen, som kan göras på flera olika sätt. Vi presenterar i denna avhandling tre olika konstruktioner: dessa är brownska brons konstruktion, Kolmogorov-Tjentsovs konstruktion samt Donskers teorem.
Brownsk rörelse karakteriseras av vissa egenskaper och målet är att skapa en slumpprocess med alla egenskaper karakteriserande brownsk rörelse. Konstruktionerna skiljer sig en hel del från varandra. Brownska brons konstruktion förlitar sig starkt på brownska rörelsens fördelning medan Kolmogorov-Tjentsovs konstruktion går via Kolmogorov-Tjentsovs sats som är ett mycket allmänt resultat som även kan tillämpas på andra stokastiska processer än den brownska rörelsen.
Konstruktionen via Donskers teorem är väsentligt annorlunda: Donskers teorem säger att brownsk rörelse uppstår som ett sorts gränsvärde av en enkel, lämpligt skalad slumpvandring. Alla ovanstående konstruktioner kräver noggrannhet: slumpprocesser, slumpfunktioner, stokastiska variabler på metriska rum och svag konvergens med mera är begrepp som behöver behandlas.
Donskers teorem förklarar varför brownsk rörelse förekommer inom otaliga tillämpningar och kan därmed anses mer grundläggande än övriga konstruktioner. Brownsk rörelse används förutom i matematik även inom exempelvis ekonomi och fysik. Ett vanligt användningsområde för brownsk rörelse är aktiesimulering, och på korta tidsskalor har denna modell visat sig fungera bra.
I denna avhandling fokuserar vi på att konstruera brownsk rörelse och därmed påvisa dess existens, och även dess entydighet. Brownsk rörelse är unik sånär som på konstruktionen, som kan göras på flera olika sätt. Vi presenterar i denna avhandling tre olika konstruktioner: dessa är brownska brons konstruktion, Kolmogorov-Tjentsovs konstruktion samt Donskers teorem.
Brownsk rörelse karakteriseras av vissa egenskaper och målet är att skapa en slumpprocess med alla egenskaper karakteriserande brownsk rörelse. Konstruktionerna skiljer sig en hel del från varandra. Brownska brons konstruktion förlitar sig starkt på brownska rörelsens fördelning medan Kolmogorov-Tjentsovs konstruktion går via Kolmogorov-Tjentsovs sats som är ett mycket allmänt resultat som även kan tillämpas på andra stokastiska processer än den brownska rörelsen.
Konstruktionen via Donskers teorem är väsentligt annorlunda: Donskers teorem säger att brownsk rörelse uppstår som ett sorts gränsvärde av en enkel, lämpligt skalad slumpvandring. Alla ovanstående konstruktioner kräver noggrannhet: slumpprocesser, slumpfunktioner, stokastiska variabler på metriska rum och svag konvergens med mera är begrepp som behöver behandlas.
Donskers teorem förklarar varför brownsk rörelse förekommer inom otaliga tillämpningar och kan därmed anses mer grundläggande än övriga konstruktioner. Brownsk rörelse används förutom i matematik även inom exempelvis ekonomi och fysik. Ett vanligt användningsområde för brownsk rörelse är aktiesimulering, och på korta tidsskalor har denna modell visat sig fungera bra.
Kokoelmat
- 111 Matematiikka [38]